важное понятие математического анализа. Функция
f (
x) называется равномерно-непрерывной на данном множестве, если для всякого ε > 0 можно найти такое δ = δ(ε) > 0, что |
f (
x1)
- f (
x2)|<ε для любой пары чисел
x1 и
x2 из данного множества, удовлетворяющей условию |
x1-x2|< δ (ср.
Непрерывная функция).
Например, функция
f (
x) =
x2 равномерно непрерывна на отрезке [0, 1]: если
, то
(так как для 0 ≤
x1 ≤ 1, 0 ≤
x2 ≤ 1 обязательно |
x1 +
x2|≤ 2). Вообще функция, непрерывная в каждой точке отрезка [
а, b], равномерно непрерывна на этом отрезке (теорема Кантора). Для интервала эта теорема может не иметь места.
Так, например, функция
непрерывна в каждой точке интервала 0 <
x < 1, но не является равномерно непрерывной в этом интервале, потому что, например, при ε = 1 для любого δ > 0 (δ < 1) мы имеем удовлетворяющие неравенству |
x1 - x2| < δ числа
x1 =
и
x2 = δ
, для которых
.